Binaire Option Finite Différence

Prix ​​des options en utilisant la méthode des différences finies - Matlab Pendant le cours Quantitative amp Finance computationnelle au sein du département mathématiques de l'UCL. Nous avons été invités à évaluer 4 types d'options, l'option d'achat européenne, l'option de vente européenne et les options binaires en utilisant la méthode des différences finies. Ce post décrit l'équation de Black-Scholes et ses conditions aux limites, la méthode des différences finies et enfin le code et l'ordre de précision. Pour le code matlab dans ce post, j'ai utilisé la brosse java, donc les commentaires devront être changés de à. Je sais que vous demanderiez, pourquoi je n'ai pas utilisé un pinceau Matlab en premier lieu, eh bien j'utilise le SyntaxHighlighter et en regardant ce commentaire Note de l'auteur: la longue liste de fonctions (1300) peut rendre le navigateur ne répondent pas lorsque vous utilisez ce brosse. me rebuter. I Équation de Black-Scholes Où Smbox, sigmaVolatility, rmbox, Vmbox Il s'agit d'une équation parabolique linéaire équation différentielle partielle. En termes de Grecs. L'équation de Black-Scholes peut s'écrire de la façon suivante: Theta - frac sigma2 S2 Gamma - r S Delta r V Conidions finales de l'amp Boundary La condition finale est les conditions de la limite de gain à S0 et à l'option d'appel européen Sinfty Black - Pour l'option de Black-Scholes pour une option d'appel européen est C (S, T) Squad N (d1) - Equad e quad N (d2) et N est la fonction de distribution cumulative d'une norme normale. En utilisant l'équation de parité Call-Put CALL-PUT S - e N (-d2) on peut aussi rite la formule put P (S, T) - Squad N (-d1) Equad e quad N (-d2) , Également appelée cash-or-nothing les valeurs Call et Put: II Méthode de différence finie La méthode de différence finie est une méthode numérique pour approximer les solutions aux équations différentielles en utilisant l'équation de différence finie pour dériver approximative. La grille de différence finie a généralement un pas de temps égal, le temps entre les nœuds est égal à S pas. Le pas de temps est delta t et l'étape asset est delta S. Ainsi, la grille est constituée de points aux valeurs d'actif Sidelta S et les temps t T-k delta t où 0leq ileq l et 0leq kleq K. I delta S est notre approximation de l'infini, dans cet exercice nous allons utiliser Sinfty 2 cdot Strike Ainsi, nous pouvons écrire la valeur de l'option à chacun de ces points de grille comme VV (idelta S, T-kdelta t) Variable et l'indice est la variable d'actif. Nous allons donc utiliser la notation Black-Scholes Grecs pour approximer theta, gamma et delta Approximating Theta Il s'ensuit que nous pouvons approximer la dérivée temporelle de notre grille de valeurs en utilisant la différence de temps en arrière: frac (S, t) (Delta t) C'est l'approximation des options theta. Elle utilise la valeur d'option à deux points de la grille V (k, i) et V (k1, i). Cette approximation est un ordre précis en delta t et nous verrons plus tard que plus tard dans les exemples. Approximation Delta La même idée peut être utilisée pour approximer le premier ordre dans la dérivée S, le delta. A partir d'une expansion en série de Taylor de la valeur de l'option sur le point Sdelta S, on a V (Sdelta S, t) V (S, t) delta S frac (S, t) Delta S3) De la même façon, V (S-delta S, t) V (S, t) - delta S frac (S, t) (S, t) frac - VO (delta S2) Approximation du gamma Le gamma d'une option est la dérivée seconde de l'option par rapport au sous-jacent. L'approximation naturelle est frac approximativement frac-2 VO Delta S2) Cette approximation est également un second ordre précis dans delta S comme l'approximation du Delta et le montrera aussi plus tard. La méthode de la Différence absolue explicite Calcul des Grecs à l'aide de la différence rétrograde Maintenant, nous brancherons notre approximation précédente de Grecs dans l'équation de Black-Scholes frac - V frac sigma2 (i2delta S2) frac - VV idelta S frac - V - r V 0 Réarrangement de V alpha V bêta V gamma V avec alpha fract Sigma2 i2 delta t - frac ir delta t bêta 1 - sigma2 i2 delta t - r delta t gamma frac senma2 i2 delta t fraction ir delta t L'équation des différences finies est valable partout dans le Grille qui n'est pas valide sur les limites. Par conséquent, nous devons définir les limites en fonction du type d'option que nous évaluons. (S, t) max (SE, 0) Ainsi V max (i delta SE, 0) où 0leq i leq l La probabilité de S tombant V est la condition de limite supérieure V (alpha-gamma) V (bêta 2gamma) V) Enfin pour les critères de stabilité nous choisirons delta t leq frac. III Code et résultats Voici la matlab mise en œuvre de la méthode des différences finies. Nous avons utilisé les mêmes paramètres fixes, à savoir la volatilité 0,2, le taux d'intérêt 0,05, le prix d'exercice 100, le prix actuel est la valeur actualisée du prix d'exercice S100 e. Pour chaque type d'option, nous varions le pas de temps et le prix de l'actif pour montrer que la méthode est de premier ordre et de deuxième ordre précise en delta t et delta S à tour de rôle. Nous avons également defnie l'alpha, bêta et gamma à l'extérieur pour plus de clarté. Le code de la fonction alpha Le code de la fonction bêta Le code de la fonction Gamma Nous avons également défini les résultats pour la solution de formulaire fermé pour une option Call et put européenne et de même pour les options binaires. Formule fermée pour l'option Call Europe Solution fermée pour l'option European Put Option fermée pour une option European Call (cash-or-nothing) Formule fermée pour un European Put option (cash-or-nothing) Nous définissons ici la valeur de l'option Pour un appel européen et une option de vente avec conditions de paiement respectives max (SE, 0) et mad (ES, 0). Nous remarquons que le code est similaire que la fonction de paiement peut être inversée en fonction du type d'option, à savoir appel ou un put. Option Valeur Fonction Fonction de la valeur d'option binaire Dans la figure ci-dessous, nous émettons les valeurs des options d'appel par la méthode des différences finies explicites. Dans ce qui suit, nous montrerons que les méthodes de différence finie sont du premier ordre et du second ordre exactes en delta t et delta S à tour de rôle en traçant l'Erreur contre delta t et delta S2 dans les deux tracés nous nous attendons à avoir un tracé linéaire. Valeurs d'option d'appel européennes Erreur Vs. Delta t Valeurs d'option d'appel européennes Erreur Vs. Delta S2 European Valeurs d'option de vente Erreur Vs. Delta t Valeur des options d'option européennes Vs. Delta S2 Tracer l'erreur en pourcentage en fonction du delta t et du delta S2 pour l'option call et put européenne pour la fonction de payoff continue et binaire, on voit clairement que l'erreur est linéaire en delta t et delta S2. Plus les étapes sont faibles en delta t et delta S2, la méthode de la différence finie est précise, mais cela se fait avec un temps de calcul onéreux. Paul Wilmott présente Quantitative Finance, deuxième édition, par Paul P. WilmottOption Prix à l'aide de la méthode des différences finies explicites Ce tutoriel traite des spécificités de la méthode des différences finies explicites telle qu'elle est appliquée au prix des options. Exemple de code de mise en œuvre de la méthode explicite dans MATLAB et utilisé pour le prix d'une option simple est donnée dans la méthode explicite - Un tutoriel de mise en œuvre MATLAB. Le didacticiel Finite Difference Methods couvre les concepts mathématiques généraux derrière les méthodes finit diffence et doit être lu avant ce tutoriel. Méthodes alternatives de différences finies, à savoir la méthode implicite et la méthode de Crank-Nicolson. Sont couverts dans des didacticiels complémentaires. Pour la méthode explicite, l'équation différentielle partielle de Black-Scholes-Merton, où les indices i et j représentent des noeuds sur la grille de tarification. La substitution de ces approximations dans la PDE donne, ce qui se réduit à l'équation 1: Équations de différence finie explicite où l'équation 2: Paramètres de différence finie explicite Pour voir pourquoi on appelle ce système de différence finie explicite, considérons le schéma suivant: Un arbre Trinomial La figure 1 est une représentation picturale de l'équation 1. Ils montrent que les valeurs données pour fnof i, j1. Fnof i, j et fnof i, j-1 alors les valeurs pour fn de i-1, j peuvent être explicitement (et facilement) calculées. Dans la structure de tarification des options, l'équation 1 (et donc la figure 1) montre que compte tenu de la valeur de l'option aux conditions aux limites (et surtout à l'échéance), tous les points intérieurs de la grille de tarification peuvent être calculés en utilisant une approche d'induction À reculer dans le temps. C'est-à-dire, étant donné l'option de paiement à l'expiration des nœuds, puis les prix deltat avant l'expiration peut être calulé, puis à partir de ces prix la valeur 2deltat avant l'expiration peut être calculée et itérative travail à travers le temps jusqu'à ce que le prix de l'option à grille noeuds pour t0 Aujourd'hui) peuvent être cal - culés. Une formulation matricielle La formulation de la méthode explicite donnée dans l'équation 1 peut être écrite dans la notation matricielle Équation 3: Différence finie explicite dans la forme de la matrice Stabilité et convergence Deux questions importantes à poser au sujet de n'importe quel algorithme numérique sont quand est-elle stable et si sa stabilité Puis à quelle vitesse converge-t-il (un algorithme itératif instable conduira au calcul de nombres toujours croissants qui, à un certain point approche l'infini. Par ailleurs, un algorithme stable converge vers une solution finie. Typiquement le plus rapide que fini On obtient une équation matricielle de la forme donnée dans l'équation 3 si elle est stable si et seulement si l'équation 4 montre la norme de l'infini de l'équation Matrice A. Heurtiquement, si la norme d'infini de A est inférieure à 1 alors les valeurs successives de F i dans l'équation 3 deviennent de plus en plus petites, et donc l'algorithme converge ou est stable. (Alternativement si la norme d'infini de A est supérieure à 1 alors les valeurs successives de F i deviennent de plus en plus grandes et donc divergent.) On peut montrer que pour certaines combinaisons de rho. Sigma et deltat. (Et donc les valeurs de aj bj et cj) la norme d'infini de A sera supérieure à 1. Ainsi, à moins que la taille de la grille (en particulier dans l'axe temporel) ne soit choisie de manière appropriée, la méthode des différences finies explicites peut être instable et donc utile pour Prix ​​des options. (Comparez ceci à la fois avec la méthode implicite et la méthode de Crank-Nicolson qui sont toutes deux garanties d'être stables). La vitesse de convergence de l'algorithme est directement liée à l'erreur de troncature introduite lors de l'approximation des dérivées partielles. Par conséquent, la méthode explicite converge aux taux d'Omicron (deltat) et d'Omicron (deltaS 2). C'est le même taux de convergence que la méthode implicite. Mais plus lent que la méthode Crank-Nicolson. Pricing Options de style américain La technique d'induction inversée utilisée pour repousser la méthode explicite à l'envers à travers le temps est idéalement adaptée aux options de tarification qui incluent la possibilité d'un exercice précoce. À chaque nœud, plutôt que d'utiliser la valeur calculée à partir de l'équation 1 (ou de l'équation 3), cette valeur est comparée à la valeur intrinsèque et au maximum des deux si elle est utilisée, c'est-à-dire fnof i, j max (valeur calculée, valeur intrinsèque)